COLETÂNEA DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS INTERESSANTES
PROBLEMA 1
Nicolau gastou
tudo o que tinha no bolso em cinco lojas. Em cada loja gastou R$ 1,00 a mais do
que a metade do que tinha ao entrar. Quando tinha Nicolau no bolso antes das
compras?
(Talvez esse
Nicolau seja um juiz fazendo compras em Miami).
PROBLEMA 2
Existem cinco
sacos com 20 moedas em cada saco. As moedas deveriam pesar 10 g cada uma. Mas só
as moedas de três sacos pesam exatamente o devido. As de um saco pesam 9 g e de
as de outro pesam 11 g cada uma.
Como
reconhecer, com uma só pesagem, qual o saco das moedas mais pesadas e qual o
saco das moedas mais leves? Esta pesagem faz-se com uma balança de um só prato
com um mostrador que indica o peso exato do objeto no prato.
PROBLEMA
3
Nicolau
multiplicou dois números de cinco algarismos e tomou nota do resultado.
Infelizmente, um algarismo (representado por um asterisco) ficou
ilegível.
98.564 X
54.972 = 5.41*.260.208
Para saber o valor desse algarismo será necessário que
Nicolau refaça a multiplicação ou existe método mais
rápido?
PROBLEMA 4
Nicolau sai de São
Paulo, viajando com velocidade constante. Passa por um marco que contém dois
algarismos.
Uma hora depois passa
por outro marco, contendo os mesmos dois algarismos, mas em ordem inversa. Uma
hora depois passa por um terceiro marco, contendo os mesmos algarismos,
separados por um zero.
Qual é a
velocidade a que vai?
PROBLEMA 5
Este é um
problema relativamente fácil, proposto pelo britânico Henry E. Dudeney (1847 –
1930).
Um velho e justo
mercador de Bagdad deixa seus bens para serem divididos igualmente entre seus
três filhos.
Entre os bens
existiam 21 vasilhames: 7 cheios de mel; 7 com mel pela metade e 7 vasilhames
vazios.
Como fazer a
divisão eqüitativa de forma que cada dos filhos receba o mesmo número de
vasilhames e a mesma quantidade de mel, sem que haja nenhuma transposição de
qualquer quantidade de mel de um vasilhame para outro?
PROBLEMA 6
Este é um
“puzzle” atribuído a Sam Loyd.
Ao meio dia os
ponteiros (“das horas e dos minutos”) estão na mesma posição. Isso também vai
ocorrer várias vezes em outras “horas”.
A pergunta é:
depois do meio dia, a que horas, minutos, segundos e fração de segundos os
ponteiros estarão na mesma posição, ou seja,
sobrepostos?
E, para os “mais
matemáticos”, a que horas, minutos, segundos e fração de segundos, depois das
13:00 hs, os ponteiros farão um ângulo reto (90
graus)?
PROBLEMA 7
Este é um antigo
problema apresentado por Sam Loyd, mas cujas raízes da solução vêm de Euclides,
na antiga Grécia.
Suponha que um
lírio esteja aflorado 25 centímetros em relação à superfície da água. Esticando
a planta até ela desaparecer, isso ocorre a uma distância de 55 centímetros em
linha reta sobre a superfície da água, em relação à linha vertical da posição
original da flor.
Qual a
profundidade do lago?
PROBLEMA 8
Pesadelo de
Torcedor - baseado em problema apresentado pelo russo Boris A.
Kordemsky
Torcedor (de que
time fica à escolha do leitor) sonha que está num amplo salão vazio e fechado,
chutando uma bola contra as paredes.
De repente, dá
meia-noite e a bola se transforma numa esfera de aço de 20 cm de diâmetro. Ele,
pobre torcedor, transforma-se numa pequena bola de plástico (do tipo bola de
ping-pong) de 10 cm de diâmetro.
O problema é que
a bola de aço começa a inchar, aumentando constantemente de tamanho, e sai
loucamente em perseguição à bola de plástico para
esmagá-la.
Desesperadamente,
o “torcedor” fica fugindo. E a bola de aço vai inchando... Inchando de tal forma
a aumentar o seu diâmetro em 5 cm a cada 15 minutos.
A partir de que
horas, minutos e segundos, nesse sonho, o “torcedor” pode parar de fugir, ficar
a salvo e ter certeza que não será mais esmagado?
PROBLEMA
9
Motorista
Matemático - também baseado em Boris A. Kordemsky.
Um número
palíndromo é aquele que é “o mesmo” lido da esquerda para a direita e
vice-versa. Exemplos: 343; 1.001; 245.542, etc.
Existem muitas
“histórias” sobre esses números. Por exemplo, todo número palíndromo com um
número par de dígitos é divisível por 11. Mas essa e outras histórias ficam para
outra ocasião...
Vamos ao nosso
problema.
Um motorista
dirige em uma rodovia cuja velocidade máxima permitida é de 100 km/h. E ele
obedece!
Então observa que
o marcador de quilometragem indica 15.951 km, e diz pra si mesmo: “Um palíndromo
- e isso aconteceu há um bom tempo”.
Mas exatamente
duas horas depois o marcador apresenta um novo número
palíndromo.
A que velocidade
viaja o motorista matemático?
PROBLEMA
10
Lucro ou Prejuízo
- baseado em H. E Dudeney.
Depois de haver
comprado duas bicicletas, uma pessoa resolveu vendê-las. E o fez por R$ 600,00
cada uma. Numa das vendas teve um prejuízo de 20% e na outra obteve um lucro de
20%. Qual foi resultado final das transações?
No total, a
pessoa teve lucro ou prejuízo? De quanto?
PROBLEMA 11
Se um tijolo se
equilibra com um peso de 3/4 Kg mais 3/4 de um tijolo, qual o peso de um
tijolo?
PROBLEMA 12
Um livro custa R$
1,00 mais a metade do seu preço.
Quanto custa o
livro?
PROBLEMA 13
Duas velas têm
diferentes alturas e espessuras. A maior queima em 3,5 horas; a menor em 5
horas.
Depois de duas
horas queimando as duas velas ficam com a mesma altura. Duas horas antes, que
fração da maior era a altura da vela menor?
PROBLEMA 14
Em certa viagem
estive num local peculiar. Durante o dia o meu relógio adiantava e durante a
noite atrasava. Eu notava que no início da noite ele estava 1/2 minuto
adiantado, mas durante a noite ele atrasava 1/3 de minuto, redundando em 1/6 de
minuto de adiantamento.
Na manhã do dia
1º de maio acertei o relógio. Em que data ele esteve adiantado 5
minutos?
PROBLEMA 15
Uma bola elástica
é deixada cair da Torre de Pisa de uma altura de 55,863 m até bater no chão e,
após cada queda, sobe 10% da altura precedente.
Qual a distância
total percorrida pela mesma até parar.
PROBLEMA 16
Um cavalo e uma
mula caminhavam juntos levando no lombo sacos pesados. Lamentava-se o cavalo de
sua pesada carga quando a mula lhe disse: “De que se queixa? Se eu levasse um
dos seus sacos, minha carga seria o dobro da sua. E se eu lhe desse um saco, sua
carga seria igual à minha”.
Quantos sacos
levava o cavalo e quantos levava a mula?
PROBLEMA 17
Em ambas margens
de um rio existem duas palmeiras, uma em frente da outra. A altura de uma é 9
metros e da outra é de 4 metros. A distância entre os seus troncos é de 25
metros. Na copa de cada palmeira está um pássaro.
Subitamente os
dois pássaros descobrem um peixe que aparece na superfície da água, entre as
duas palmeiras. Os pássaros lançam-se sobre ele e alcançam-no ao mesmo
tempo.
A que distância
do tronco da palmeira maior apareceu o peixe?
PROBLEMA 18
Um barco a motor
leva (sem parar) 5 horas para descer o rio desde a cidade A até a cidade B. Na
volta, avança contra a corrente (na sua marcha normal e também sem parar)
durante 7 horas.
Quantas horas
necessitará uma jangada para ir da cidade A a cidade B, seguindo a velocidade da
corrente?
PROBLEMA 19
Um automóvel
percorreu a distância entre duas cidades a uma velocidade de 60 km/h e fez a
viagem de volta a 40 km/h.
Qual foi a
velocidade média feita nos dois trajetos?
PROBLEMA
20
Quando passeavam
por uma cidade três estudantes observaram que um motorista passou num sinal
vermelho.
Nenhum deles
recordava o número da placa que tinha quatro algarismos, mas cada um deles notou
uma particularidade de tal número. Um deles notou que os dois primeiros
algarismos eram iguais. O segundo reparou que também os dois últimos algarismos
eram iguais. E, por último, o terceiro garantiu que o número era um quadrado
exato.
Qual é o número
da placa?
PROBLEMA
21
Vamos considerar
esta situação:
Relógio de
ponteiros (analógico);
Exatamente 5
horas (ou 17 horas) - ponteiro pequeno no 5 e grande no
12.
A) Qual o
instante, minutos e segundos depois das 5 horas (ou 17), no qual os ponteiros
formarão o primeiro ângulo reto (noventa graus)?
B) Qual o
instante, minutos e segundos depois das 5 horas (ou 17), no qual os ponteiros
irão coincidir (estarão superpostos)?
C) Num dado
instante, depois das 5 horas (ou 17), os ponteiros formarão 30 graus. Em seguida
o ponteiro grande ultrapassa o pequeno e se conformará, algum tempo depois, um
ângulo de 60 graus entre os ponteiros. Qual o tempo que decorrerá entre essas
duas situações?
PROBLEMA
22
Vamos considerar
esta situação:
Relógio de
ponteiros (analógico);
Algarismos
romanos (só para dar um “toque de nobreza” ao problema e que pode ser o mesmo
relógio do problema anterior).
A) A que horas,
minutos e segundos, entre as duas e três horas, estará o ponteiro dos minutos
tão distante do VI quanto o ponteiro das horas do XII?
B) A que horas,
pela primeira vez depois do meio dia, o ponteiro dos minutos estará tão próximo
do XII quanto o ponteiro das horas estará tão distante do
XII?
PROBLEMA 23
Um carro acelera
do repouso até a velocidade de 8 K, em km/h, durante K/5 minutos. Ele continua
com essa velocidade constante por K minutos. Em seguida, desacelera
uniformemente e leva outros K/5 minutos até parar, tendo viajado (K – 1)
quilômetros. Essa viagem durou um número inteiro em minutos.
Quantos?
PROBLEMA 24
Um cubo com
aresta de 1 m é encostado numa parede. Uma escada de 15½ m (raiz
quadrada de 15 metros) é apoiada nessa parede, tangenciando a aresta livre
horizontal do cubo da face n paralela à parede. A que altura a escada se apóia
na parede?
PROBLEMA 25
Sala de espera de
um consultório, com dimensões estranhas. Horário da consulta: 17:00 hs. O
paciente, matemático, olhando para um relógio fixado a uma parede retangular de
largura igual a 5 m, notou, alguns minutos antes daquela hora, que os ponteiros
do relógio, em sentidos opostos, estavam paralelos a uma diagonal dessa parede.
Que horas, exatamente, eram quando notou isso e qual a altura da parede?
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